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2020年 10月 16日　【力学】2質点系の運動その２

皆さんこんにちは。

担任助手1年の中村祐貴です。

進捗いかがでしょうか。

さて，前回お届けした【力学】2質点系の運動その１取り組んでいただけましたでしょうか。
まだの方はそちらを先にどうぞ。

前回扱った弾性衝突の反発係数（はねかえり係数）が
1であることの意味について，少し考えてみましょう。

まず，反発係数の定義は何でしたでしょうか。

 

 

 

そうですね。

 

衝突前後の相対速さの比ですね。

 

すなわち，衝突直前の物体１及び物体２の速度が\begin{align*} v_1,v_2 \end{align*}，
衝突直後の速度が\begin{align*} {v_1}',{v_2}' \end{align*}とすると，
衝突直前の物体１から見た物体２の相対速度\begin{align*} v_r \end{align*}および
衝突直後の物体１から見た物体２の相対速度\begin{align*} {v_r}' \end{align*}は，

\begin{eqnarray*} v_r&=&v_2-v_1\\ {v_r}'&=&{v_2}'-{v_1}' \end{eqnarray*}

で表されるので，
衝突前後で\begin{align*} v_r \end{align*}と\begin{align*} {v_r}' \end{align*}の相対速度の符号は明らかに逆転する
（自分の視点で考えると自分に対して突っ込んできたやつは
衝突したら逆方向に飛んでいく）ため，
反発係数\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}は次のように定義できます。

\begin{eqnarray*} e=\textcolor[rgb]{1,0.4,0.4}{-}\frac{{v_r}'}{v_r}=\textcolor[rgb]{1,0.4,0.4}{-}\frac{{v_2}'-{v_1}'}{v_2-v_1} \end{eqnarray*}

ここまでみてわかるように，
反発係数が1であるとは相対速さが不変で
相対速度の符号のみが変化するということです。

これは非常に重要なことなので，
しっかりと頭に入れておいてください。

ところで，この相対速度は少し別な見方をすることで
より深い考察が得られます。

それは，重心を基準に考えることです。

そもそも重心とは何だったでしょうか？
ここで2質点の運動方程式を考えてみましょう。

運動方程式は，

\begin{eqnarray*} m_1a_1&=&F_{1,2} - F_{1,ex}~~~~\cdot\cdot\cdot(1)\\ m_2a_2&=&F_{2,1} - F_{2,ex}~~~~\cdot\cdot\cdot(2) \end{eqnarray*}

となります。
ここに，\begin{eqnarray*} F_{1,2} \end{eqnarray*}は物体１が物体２から受ける内力，
同様に\begin{eqnarray*} F_{2,1} \end{eqnarray*}は物体２が物体１から受ける内力で
これらは作用・反作用の関係にあります。

また，\begin{eqnarray*} F_{1,ex} \end{eqnarray*}や\begin{eqnarray*} F_{2,ex} \end{eqnarray*}はそれぞれ物体１や物体２が
系の外から受ける外力（external force）です。

おそらく，皆さんの多くは，でどうすんの？
と思われていることでしょう。
そもそも衝突時の内力は特に撃力とよばれる
非常に大きな力ですから，これを求めるのは難しいです。

そこで\begin{eqnarray*} F_{1,2} \end{eqnarray*}と\begin{eqnarray*} F_{2,1} \end{eqnarray*}が作用・反作用の関係にあることを考えると，

\begin{eqnarray*} F_{1,2}=-F_{2,1} \end{eqnarray*}
が成立しているわけですから，
先ほどの2式をどうしたらよさそうですか？？






そうですね。
\begin{eqnarray*} F_{1,2}+F_{2,1}=0 \end{eqnarray*}
となるのですから，辺々足すのがよさそうですね。
(1)+(2)により，

\begin{eqnarray*} m_1a_1 + m_2a_2 &=& F_{1,2} + F_{2,1} + F_{1,ex}+F_{2,ex}\\ m_1a_1 + m_2a_2 &=& F_{1,ex}+F_{2,ex}~~~~\cdot\cdot\cdot(3) \end{eqnarray*}
が得られます。このままでもよいのですが，
(1)+(2)=(3)は２つの物体を１つのセットとみなして
連立方程式を立てたことに相当するので，
そのことがより伝わる表式に直してみましょう。
すなわち，\begin{eqnarray*} m_{total}=m_{1}+m_{2} \end{eqnarray*}を用いて，
\begin{eqnarray*} m_{total}\cdot\frac{m_1a_1 + m_2a_2}{m_{total}}&=&F_{1,ex}+F_{2,ex} \end{eqnarray*}
と書き表せるので，ここで重心Gの座標を

\begin{eqnarray*} x_G=\frac{m_1x_1+m_1x_2}{m_{total}} \end{eqnarray*}

で定めると，重心加速度\begin{eqnarray*} a_G \end{eqnarray*}が

\begin{eqnarray*} a_G=\frac{m_1a_1+m_1a_2}{m_{total}} \end{eqnarray*}
となりますから(3)式は結局，
\begin{eqnarray*} m_{total}a_G&=&F_{1,ex}+F_{2,ex} \end{eqnarray*}
と書き換えられるわけです。

これは何を意味しているのでしょうか。
そうですね。重心の運動は，それぞれの物体にかかる外力が
あたかもすべて重心１点にかかっていると考えたときの
運動に他ならないわけです。

なるほど。特に外力が０の時は，重心加速度は０，
すなわち重心速度不変ということなのです！！
超重要

え，でも待って？
これって運動量保存と同じじゃない？と思った方，
素晴らしいです。
その通りです。
\begin{eqnarray*} v_G&=&\frac{m_1v_1+m_1v_2}{m_{total}}=const. \end{eqnarray*}
（const.はconstantの略で定数の意）なのですから，
\begin{eqnarray*} {m_1v_1+m_1v_2}=const. \end{eqnarray*}
と同じことですからね。（質量は勿論定数です！！）

運動量保存も実はこれと同様にして導かれるので，
重心速度一定か運動量保存かどちらの言葉を使っても構いません。

少し長くなってしまったので，
今回はここで区切りましょう。

続編は今回やったことをもとに
重心から見た相対速度の議論を深めます。
近日公開ということで。

質問はいつでも受け付けているので気軽にどうぞ。

さて，今月のブログは生きがいがテーマでしたが，
私のいまの生きがいは少しでも実力をつけて
将来社会により貢献できるようにすることですね。

施されたら施し返す。
恩返しです！(笑)

でも本当にこれからの社会を作っていくのは我々なので，
しっかりと精進してまいりましょう。

では，勉強頑張ってください。

横浜国立大学理工学部
担任助手1年　中村 祐貴

 

 

 

 

2020年 10月 15日　生を一番感じる時間　

こんにちは。担任助手1年の藤原泰志です。

最近、肌寒くなってきましたね。秋ですね。

秋って

1年の中で一番過ごしやすい季節だと思うんですよ。皆さんはどう思いますかね。

秋最高じゃないですか。秋最高って叫びたくなりますね。叫びましょうか。叫ぼうよ！！

せーーーの、、

「秋サイコーーーーーーウ！！！！」

もう一回叫んでおこうか

せーーーーーーーーーーーの、、、、、、、、、、、、、

「秋さいこーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーう！！！」

 

はい。という事で今回は生きがいがテーマでありますけれども。

僕の生きがいなんですけど、生きがい特にないんですよね。

「これのために生きてる！」とか特にないんですよね。

ただ、「今、俺めっちゃ生きてるわーーー！」って感じることは多々あるんですよね

言い換えると「生を実感する瞬間」ですね

僕の生を実感する瞬間っていうのはですね、「ドキドキするとき」ですね

ドキドキしてるとき、めっちゃ心臓動くやん。

うちはな、めっちゃ心臓動いてるときに、その鼓動を聞いて

「うち、めっちゃ生きてるやーーーん」

って感じんねん。

ほんでな、いつわてがドキドキするかていうとな

例えば、めっちゃ怖いホラー映画を見たときとかやな。

あとは、受験本番とかやな。めっちゃ緊張したわーーー

めっちゃ心臓バクバク言うたわ。

まあ、みんなもこれからたくさん「生を実感する瞬間」あると思うで

楽しんでいきやーーー

ほな

担任助手1年　藤原泰志

 

2020年 10月 14日　薄くても小さくてもいい

生きがい、というか人生で一番テンションが上がる瞬間は

「新しく買った服を着て誰かに褒められたとき」

 

え？人生薄っぺらいって？

 

返す言葉もありません。

 

服好きです。でも服に詳しくはないです。担任助手２年の富浜です。

 

生きがいがあまりにも薄かったのと、そもそもあれを生きがいと呼んでいいのかワカラナイので受験生だった頃を回想してみます。

 

ゲ、２年前か・・・年取ったもんだな。

 

センター試験100日前を切ってからは毎日が鬱。

あんまり満足のいく勉強ができずに1日が終わる。

漠然とした不安。

仲の良かった友達がなんかウザい。

担任助手と自分に温度差がある。

なんか前より睡魔強くね？

 

上記の感情のループでした。辛い。

 

いまそういう状況の人は多いと思いますが、残念ながら受験が終わるまでその感情がなくなることはありません。

乗り越えなきゃいけない試練ってやつです。

 

「神様はみてる」「神様が止めてくれた」などというフレーズがありますが、僕はこの言葉が好きじゃありません。

ほしい物が売り切れてた時に「神様が買うなって言ってるんだよ」と言われたことがありますが、その時はめちゃくちゃイラっとしました笑

これは神がいるとかいないとかそういう宗教的な話ではなく、自分が一切干渉できない外的なものによって自分の人生が左右されることに納得がいかないんですね。理不尽じゃないですか！？

 

ただ、そんな自分でも一つ納得してしまったのが、昔のドラマ『仁』に出てきた

「神様は乗り越えられる試練しか与えない」

という言葉です。

 

これは先ほどの言葉と違って理不尽さがなく、むしろ勇気をもらえる言葉です。

 

つまり、上に羅列した辛いものも乗り越えられるものなんです。

 

そして乗り越える手助けをしてくれるのは小さな生きがいです。

 

生きがいっていうワードの定義だったり、重み的な話は散々他の助手がしてくれてるので割愛します笑

要は、とりあえず1日を頑張り切れる理由であればなんでもいいんです。

 

・月曜日にジャンプを買う

・毎日投稿してるYoutuberの動画を家帰って見る

・良い大学に入ったら好きな子に振り向いてもらう

・モテたい

 

不純だろうがなんだろうが、勉強と向き合う活力を生み出せればなんでも良いんです。

頑張る理由が出てきたらその都度メモるのをオススメします。学校の生徒手帳とかに。

 

あと三ヶ月頑張ろう。

 

担任助手２年　富浜大護

 

 

2020年 10月 13日　なんやこれ　

こんにちはこんばんは

青山学院大学1年の時松です！

 

最近みなさんいかがお過ごしでしょうか

季節の変わり目、中間テスト、

受験ラストスパート、、

色々大変なことがあるとは思いますが

みなさんの勉強の良い息抜きになるような

お話をしていきたいと思います。

ソファーに座っている人はグダっと寝転びながら、

椅子に座ってる人はグダっと寝転びながら、

ホームクラスのパソコンでこのブログを

見ている人はグダっと寝転びながら

ゆっくり読んでいってください！

ホームクラスで寝転んで怒られても

責任は取りません。

さて、今回のブログは時松の近況報告を

していきたいと思いやす。

最近僕は車の免許を取りました。

やはり車の運転というのは楽しいもので

朝起きて車に移動してコーヒーを

喉に流しながら本を読む

これ大人になった感じがして気持ちいいので

みなさんやってみてください。

運転関係ないやん。

そう思ったそこのあなたは合格ですので

受け付けにいる僕まで報告よろしくお願いします。

そうそう、最近思ったのが、まだまだ喋ったことの

ない人が塾にはたくさんいましてですね。

もっと話したいんですよ僕は！

てことで、今から僕が好きなもの、僕に関連する

ものを何個か挙げるのでこの中に少しでも

興味あるものが含まれてる場合は

話しかけてくださいね！

・食べ物好き

当てはまるものはあったでしょうか！

中には全部当てはまらなかったという人もいるかも

しれませんが、それはどんまいです！

今回は僕に話しかける権利をゲットすることができ

ませんでしたが、いつかまたチャンスを与える

機会を作ろうと思っているのでそこでまた

ご応募お願いします！

今回の話のテーマは

「意味わからん話」でした。

ではまたどこかで。

担任助手1年時松

 

 

2020年 10月 12日　いつかきっと。 　

皆さんこんにちは！

電気通信大学3年の南雲です！

 

すっかり秋も深まってきましたね。

秋は花粉も飛んでいなくて、

ファッションのバリエーションも

増えて、一番好きな季節です。

 

さて、今日のテーマは「生きがい」

です。

 

とか言っておいて

申し訳ないのですが、

正直なところ私はまだ

生きがいを見つけられていません。

 

辞書を引くと、生きがいとは

生きるに値するもの、

生きていくはりあいや喜び

とあります。

 

私が生きている喜びを感じる時は、

 

旅行に行って、知らない土地に

足を踏み入れ、まっさらな気持ちで

自然と向き合っている時。

また歴史を感じ、

その大いなる時の流れに

身を任せる時。

 

ハンドボールの試合をして、

自分のプレイをして、出し切って、

勝利の味をチームメイトと

分かち合う時。

 

他にも日常にたくさんそんな瞬間は

ありますが、

どれも

一つのことに全力を注いでいる時

には勝てないと思うのです。

 

部活、勉強に全力を注いで、

毎日練習、勉強していた高校時代。

 

その経験は財産になり、

今も血となり肉となり

私を支えてくれています。

 

当たり前ですが、

私はまだ守るべき家族もいなければ、

生涯を捧げたいと思う職も

ありません。

 

このテーマについて改めて考えた時、

大学は生きがいを見つけるための

準備期間であり、

高校は生きがいとは何かを知るところ

なのではないかと考えました。

 

だとしたら、部活や委員会を

頑張っている高12生、

受験に全力を尽くしている高3生は

今生きがいとは何かということを

知る段階にいるのだと思います。

 

何が言いたいかっていうと、

大学は通過点だし、

みんなのゴールはもっともっと

先にあるよってことです。

難しいこと言わずに

最初に言えよってね。

 

 

 

さて、今回の数学クイズはこちら。

かなり長いので読みたくない人は

読まなくて良いです！

 

1枚だけ破れた本がある。

破れていないページ番号を

合計すると15000になる。

 

破れたページは何ページ目？

 

 

 

 

 

 

 

わかりましたか？

これは総和の計算を使います。

 

またまた数学をあまり使わない人は

ふーんと思っておいてください。

 

まず、

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

となります。

 

つまりnページの本のページ番号を

合計すると、n(n+1)/2

となるんですね。

 

次に、

破れたページ番号をx-1, xとすると、

題意より、

“破れていないページ番号を

合計すると15000になる

ということは、

 

n(n+1)/2 – x – (x-1) = 15000

 

わからない文字が二つありますね…

 

ここで近似を使います。

 

簡単にいうと、15000に比べたら

破れたページ番号は十分に小さいから

一旦無視して考える、

ということです。

 

こうすると、

 

n(n+1)/2 ≒ 15000

n(n+1) ≒ 30000

n^2 ≒ 30000

n ≒ 173.2

 

これで本は大体173か174ページ

ということになりました。

 

仮に174ページとしましょう。

 

n(n+1)/2 = 15225

破れたページ番号の合計は、

15225 – 15000 = 225

 

よって、x + (x-1) = 225

x = 113

 

よって112ページ目と113ページ目

 

となりそうですが、

 

問題は1枚破れている点です。 

 

本は最初が1ページでめくって2ページ

となるので、

一枚破れると

(奇数)と(奇数+1の偶数)

の組み合わせになるはずです。

 

よってこれは答えではない。

 

では173ページとすると、

n(n+1)/2 = 15051

 

よって同様に計算して

x = 26

 

これは上の条件に矛盾しませんね。

 

よって答えは

25ページ目と26ページ目！

 

めっちゃむずいやん！！

私も全然わかりませんでした。

 

わかった人はいるかな？

 

明日のブログもお楽しみに！

 

担任助手3年 南雲拓真

 

 

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