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2020年 11月 21日　「期待しない」の哲学

こんにちは！こんばんは！

担任助手２年のホンダマミです。

昨日の中村先生のブログは読みましたか～！？

毎回物理の解説をしていましたが、

今回はまとめ編でしたね。

私には何を言っているのかさっぱりでしたが、

丁寧な解説なんだろうということは

物理が分からない私にも伝わってきました。

さて今回は何を書こうかな～と思ったときに、

私の高３GMTのみんなにお話ししたことを

皆さんにもお伝えしたいと思いました。

なので、ほんだまミーティングのみんなは

画面を閉じて、勉強だあ！（笑）

（読んでくれてるかどうかは分からない）

じゃあまず、みなさんが「期待」するときってどんなときでしょうか？

アルバムを開封するときに推しが出るかな、とか（O.Mさん）

家帰った時にお風呂すぐ入れるかな、とか（H.Mさん）

急行電車を見逃してまでわざわざ乗った

各駅停車の端の席が空いてないかな、とか（T.Dさん）

過去問で自分が勉強したとこ出題されないかな、とか

毎日いろんなことに「期待」すると思います。

ただ、何かに対して期待することで

ものすごく体力を使っていませんか？

しかも、期待が大きければ大きいほど

その期待が外れたときに「絶望感」を強く抱くと思います。

皆さんが一番身近で期待してしまいそうなことは

定期テスト　とか　入試

なんじゃないかな、と思います。

もちろん、ちゃんと勉強した範囲が出た方が自分にとって有利だし、

今までの出題傾向の通りに出てくる方が安心しますよね。

でも、

入試やテストが期待通り・思い通りにいくことなんてほとんどない

と思っておいてください。

今年は特に、センター試験が廃止されて共通テストになり、

各大学も入試方式を変えて実施します。

さらに、コロナウイルスという未知の恐怖もあります。

その中で、自分の想定通りに行く方が怖いです。

共通テスト模試を皆さん何度か受けたと思いますが、

あれはあくまで「予想問題」です。

こういう問題が出るかもね、というのを

文部科学省の発表に合わせて作っているだけなので

あの模試通り、と思うのは危険です。

逆に、「どんな問題形式でもかかってこい！」って思っているほうが、

イレギュラーが起きたときに冷静に対応できると思います。

過去問を解いていても、100%その形式で出てくるとも限りませんから、

あくまで「傾向をつかむ」という作業にとどめてくださいね。

話は長くなりましたが、ほどほどに期待しすぎないことで、

落ち着いて自分の力を最大限発揮できるように頑張ってください。

タイトルの「『期待しない』の哲学」は私が勝手に名付けました（笑）

なんかかっこよくないですか～？？？

では、今回はここで終わりにしたいと思います。

明日のブログは伊丹先生です！

「いい大学」に行かなきゃ、

と漠然と思っている人が多いと思いますが

果たして本当にそうなのか、

そして、そもそも「いい大学」とは何なのか

について書いてくれます！

お楽しみに！

担任助手２年　ホンダマミ

2020年 11月 20日　【力学】2質点系の運動その３

皆さんこんにちは。

担任助手１年の中村祐貴です。

進捗いかがでしょうか。

なんくるないさは沖縄の方言です。

https://www.e-bridal.tv/spot/okinawahougen_nankurunaisa

によれば，
「ちゃんと挫けずに正しい道を歩むべく努力すれば、
いつかきっと報われて良い日がやってくるよ。」
という意味だそうです。

共通テスト(同日)まで残り60日を切りましたが，
自分を信じて，気合を入れて頑張っていきましょう！

さて，今回も前回までの続きの議論をしていきます。
前回までの議論を見ていない
or覚えていない方はこちら↓↓
【力学】２質点系の運動その１
 【力学】2質点系の運動その２

それでは，参りましょう。

前回までで，2つの運動方程式を足し合わせることで
重心運動方程式
$\begin{eqnarray*} m_{total}a_G&=&F_{1,ex}+F_{2,ex} \end{eqnarray*}$
を得ました。

実際に求めたいのは個々の物体の運動ですから，
ここで個々の運動と重心の運動の関係について調べます。

まず，重心(質量中心)Gですが前回もお話ししたように
$\begin{eqnarray*} x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2} \end{eqnarray*}$
で定義されます。

すると，重心から見た物体１および２の座標 $\begin{eqnarray*} x_{1G} \end{eqnarray*}$ ， $\begin{eqnarray*} x_{2G} \end{eqnarray*}$ は，

$\begin{eqnarray*} x_{1G}&=&x_1 - x_G \\ &=&\frac{m_2x_1-m_2x_2}{m_1+m_2}\\ &=&\frac{m_2}{m_1+m_2} (x_1-x_2),\\\\ x_{2G}&=&x_2 - x_G \\ &=&\frac{-m_1x_1+m_1x_2}{m_1+m_2}\\ &=&\frac{m_1}{m_1+m_2} (x_2-x_1) \end{eqnarray*}$

と表されます。
ここで両者が対称な形で表されていることに注意します。

すると，（どちらでもよいのですがここでは）

$\begin{eqnarray*} x_r=x_1-x_2 \end{eqnarray*}$

なる２から見た１の座標を定義すると，
（rはrelative;相対の意味)
両者は次のような，より自然な形で書けることになります。

$\begin{eqnarray*} x_{1G}=\quad\frac{m_2}{m_1+m_2} x_r\\ x_{2G}=-\ \frac{m_1}{m_1+m_2} x_r \end{eqnarray*}$

これは，重心が物体１と２を質量の逆比に内分するという，
重心の定義
$\begin{eqnarray*} x_{G}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\\ \end{eqnarray*}$
を反映していることを次のベクトル図で確認してください。

さらに， $\begin{eqnarray*} x_{1G} \end{eqnarray*}$ ， $\begin{eqnarray*} x_{2G} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_r \end{eqnarray*}$ のうちいずれか１つがわかれば，
他の２つは自動的に決定されることもここから理解できます。

さて，今回の主題であった衝突問題を解くためには
ここまでのことで十分なので，一旦問題の考察を深めましょう。

問題を再掲します。

画像引用：https://physics-school.com/two-body-energy/

同様に相対速度を
$\begin{eqnarray*} v_r=v_1-v_2 \end{eqnarray*}$ ，
重心から見た物体１，２の速度も同様にして
$\begin{eqnarray*} v_{1G}=v_1-v_G=\quad&\frac{m_2}{m_1+m_2}v_r&\\ v_{2G}=v_2-v_G=-&\frac{m_2}{m_1+m_2}v_r&\\ \end{eqnarray*}$

と求まりますから，弾性衝突により $\begin{eqnarray*} v_r \end{eqnarray*}$ が -1 倍になると，
$\begin{eqnarray*} v_{1G},\ v_{2G} \end{eqnarray*}$ もそれぞれ -1 倍になります。
（もちろん反発係数がeであればそれぞれ –e 倍になります）

前回お話しした通り，衝突の内力のみで外力は働かないので
重心速度は保存します。

よって，重心から見た相対速度のみを -1 倍にすることで
容易に

$\begin{eqnarray*} {v'}_1&=&v_G+\textcolor[rgb]{1,0,0}{(-1)}\frac{m_2}{m_1+m_2}v_r\\ &=&\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-\frac{m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)\\ &=&\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2,\\ \\ {v'}_2&=&v_G+\textcolor[rgb]{1,0,0}{(-1)}\left(-\frac{m_1}{m_1+m_2}v_r\right)\\ &=&\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}+\frac{m_1}{m_1+m_2}(v_1-v_2)\\ &=&\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2,\\ \end{eqnarray*}$
が得られます。

いかがでしたでしょうか。
相対速度の意味，わかってきましたでしょうか。

今後のために運動方程式的な解釈も行っておきましょう。

$\begin{eqnarray*} m_1a_1=F_{1,2}+F_{1,ex}\quad\cdot\cdot\cdot(1)\\ m_2a_2=F_{2,1}+F_{2,ex}\quad\cdot\cdot\cdot(2) \end{eqnarray*}$

既に重心の運動は(1)+(2)によりわかっているわけですから，
あとは物体1，2の運動を求めるためには
何がわかればよいのでしょうか？

そうですね。
重心から見た物体１，２の運動が分かればよいわけですが，
それは先ほど見た通り $\begin{eqnarray*} x_r \end{eqnarray*}$ を求めればOKということです。

そのために物体２から見た物体１の相対加速度
$\begin{eqnarray*} a_r=a_1-a_2 \end{eqnarray*}$
を求めたいわけですが，
そのためにはどうしたらよさそうですか？

その通り。
$\begin{eqnarray*} (1)/m_1 - (2)/m_2 \end{eqnarray*}$ を作ればよさそうですね。
実際計算すると，

$\begin{eqnarray*} a_r&=&a_1-a_2\\ &=&\frac{F_{1,2}+F_{1,ex}}{m_1} - \frac{F_{2,1}+F_{2,ex}}{m_2}\\ &=&\frac{F_{1,2}}{m_1} - \frac{F_{2,1}}{m_2}+\frac{F_{1,ex}}{m_1}-\frac{F_{2,ex}}{m_2}\\ &=&\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)F_{1,2}+\frac{F_{1,ex}}{m_1}-\frac{F_{2,ex}}{m_2}\\ \end{eqnarray*}$
となります。

ただし，最後の変形では作用・反作用の法則
$\begin{eqnarray*} F_{1,2}=-F_{2,1} \end{eqnarray*}$
を用いました。

ここで，
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} \end{eqnarray*}$
と定義すると，μも質量次元を持つことから換算質量と呼び
これを用いて

$\begin{eqnarray*} a_r&=&\frac{F_{1,2}}{\mu}+\frac{F_{1,ex}}{m_1}-\frac{F_{2,ex}}{m_2}\\ \end{eqnarray*}$
と書くことができます。

かなりすっきりしましたね。
もうこれでもよいのですが，特に外力が０のとき，すなわち
$\begin{eqnarray*} F_{1,ex}=F_{2,ex}=0 \end{eqnarray*}$
のときはさらに
$\begin{eqnarray*} \mu a_r=F_{1,2} \end{eqnarray*}$
とより簡潔な運動方程式に帰着できます。