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2020年 10月 16日 【力学】2質点系の運動その2
皆さんこんにちは。
担任助手1年の中村祐貴です。
進捗いかがでしょうか。
さて,前回お届けした【力学】2質点系の運動その1取り組んでいただけましたでしょうか。
まだの方はそちらを先にどうぞ。
前回扱った弾性衝突の反発係数(はねかえり係数)が
1であることの意味について,少し考えてみましょう。
まず,反発係数の定義は何でしたでしょうか。
そうですね。
衝突前後の相対速さの比ですね。
すなわち,衝突直前の物体1及び物体2の速度が,
衝突直後の速度がとすると,
衝突直前の物体1から見た物体2の相対速度および
衝突直後の物体1から見た物体2の相対速度は,
で表されるので,
衝突前後でとの相対速度の符号は明らかに逆転する
(自分の視点で考えると自分に対して突っ込んできたやつは
衝突したら逆方向に飛んでいく)ため,
反発係数は次のように定義できます。
ここまでみてわかるように,
反発係数が1であるとは相対速さが不変で
相対速度の符号のみが変化するということです。
これは非常に重要なことなので,
しっかりと頭に入れておいてください。
ところで,この相対速度は少し別な見方をすることで
より深い考察が得られます。
それは,重心を基準に考えることです。
そもそも重心とは何だったでしょうか?
ここで2質点の運動方程式を考えてみましょう。
運動方程式は,
となります。
ここに,は物体1が物体2から受ける内力,
同様には物体2が物体1から受ける内力で
これらは作用・反作用の関係にあります。
また,やはそれぞれ物体1や物体2が
系の外から受ける外力(external force)です。
おそらく,皆さんの多くは,でどうすんの?
と思われていることでしょう。
そもそも衝突時の内力は特に撃力とよばれる
非常に大きな力ですから,これを求めるのは難しいです。
そこでとが作用・反作用の関係にあることを考えると,
が成立しているわけですから,
先ほどの2式をどうしたらよさそうですか??
そうですね。
となるのですから,辺々足すのがよさそうですね。
(1)+(2)により,
が得られます。このままでもよいのですが,
(1)+(2)=(3)は2つの物体を1つのセットとみなして
連立方程式を立てたことに相当するので,
そのことがより伝わる表式に直してみましょう。
すなわち,を用いて,
と書き表せるので,ここで重心Gの座標を
で定めると,重心加速度が
となりますから(3)式は結局,
と書き換えられるわけです。
これは何を意味しているのでしょうか。
そうですね。重心の運動は,それぞれの物体にかかる外力が
あたかもすべて重心1点にかかっていると考えたときの
運動に他ならないわけです。
なるほど。特に外力が0の時は,重心加速度は0,
すなわち重心速度不変ということなのです!!
超重要
え,でも待って?
これって運動量保存と同じじゃない?と思った方,
素晴らしいです。
その通りです。
(const.はconstantの略で定数の意)なのですから,
と同じことですからね。(質量は勿論定数です!!)
運動量保存も実はこれと同様にして導かれるので,
重心速度一定か運動量保存かどちらの言葉を使っても構いません。
少し長くなってしまったので,
今回はここで区切りましょう。
続編は今回やったことをもとに
重心から見た相対速度の議論を深めます。
近日公開ということで。
質問はいつでも受け付けているので気軽にどうぞ。
さて,今月のブログは生きがいがテーマでしたが,
私のいまの生きがいは少しでも実力をつけて
将来社会により貢献できるようにすることですね。
施されたら施し返す。
恩返しです!(笑)
でも本当にこれからの社会を作っていくのは我々なので,
しっかりと精進してまいりましょう。
では,勉強頑張ってください。
横浜国立大学理工学部
担任助手1年 中村 祐貴