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2021年 4月 9日　ブログプレイバックWEEK!! 2020年 9月 21日　【力学】２質点系の運動その１

4日目は中村さん！！

これは皆さんが衝撃を受けたブログではないでしょうか笑

残念ながら私文の私には何を言っているのか正直分かりませんが、

彼のすごさを伝えるためにご紹介いたします?

皆さんこんにちは。

横浜国立大学理工学部，担任助手1年の中村祐貴です。

皆さん進捗いかがですか？

最近は過去問演習や単元ジャンル別演習にいそしんでいることと思いますが，
最近ある生徒の答案を見て少し気になったので今回このテーマを扱います。
（皆さんが出している答案は私が受け取った時は軽く見させていただいてます笑）

今回の内容は全員が必ず押さえなければならない”must”の内容ですが，
続編（その２）はやや発展的な内容とはいえ，
知っていると物理的内容の見通しが良くなると思われるので，頑張っていきましょう。
（ただ難関大や物理系に進もうと考えている人にとっては続編も含めshould ~ mustです！）

今回の設定は以下の通りです。
とはいっても，非常に典型的なお話ですが。

質量m_1,m₂の２質点が右向きを正とした速度v_1,v₂で弾性衝突し，
その直後のそれぞれの速度v_1^‘,v_2^‘を求めていきましょう。

画像引用：https://physics-school.com/two-body-energy/

問題自体は具体的な値であれば共通試験レベルなので，
できてほしいのですが，いかがでしょうか。

もし，手詰まりになったとするならば次のようにやったのではないでしょうか。

想定解答①

内力のみがはたらくので，運動量保存則より，
$\begin{eqnarray*} m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2' \cdot\cdot\cdot(1) \end{eqnarray*}$

また，力学的エネルギー保存則より，
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1{v_1'}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2'}^2 \cdot\cdot\cdot(2) \end{eqnarray*}$

え？これを代入するのかって？

まあこの式を立ててしまったのなら，解くためには代入するしかないでしょうか…
一応その過程を以下に示します。

代入計算過程

(１)式をv_2^‘について解いて，

$\begin{eqnarray*} v_2'=\frac{m_1}{m_2}(v_1-v_1')+v_2\cdot\cdot\cdot(1)' \end{eqnarray*}$
これを(２)式に代入して両辺を２倍すると，
（v_2^‘を消去してv_1^‘についての解を得たい！）
$\begin{eqnarray*} m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1{v_1'}^2+m_2\left(\frac{m_1}{m_2}(v_1-v_1')+v_2\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_1v_1^2+\textcolor[rgb]{0.2,0.4,1}{m_2v_1^2}=m_1{v_1'}^2+\frac{m_1^2}{m_2}(v_1-v_1')^2+2m_1(v_1-v_1')v_2+\textcolor[rgb]{0.2,0.4,1}{m_2v_1^2} \end{eqnarray*}$
（消えること自体は展開前から見えていてほしいが）
青い部分を両辺から引いて整理すると
$\begin{eqnarray*} m_1v_1^2=m_1{v_1'}^2+\frac{m_1^2}{m_2}(v_1-v_1')^2+2m_1(v_1-v_1')v_2 \end{eqnarray*}$
となり，両辺をm₁で割って，
$\begin{eqnarray*} v_1^2={v_1'}^2+\frac{m_1}{m_2}(v_1-v_1')^2+2(v_1-v_1')v_2 \end{eqnarray*}$
をv_1^‘の２次方程式として整理すると，
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right){v_1'}^2-2\left(\frac{m_1}{m_2}v_1+v_2\right)v_1'+2v_1v_2-\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)v_1^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_1'=\frac{\frac{m_1}{m_2}v_1+v_2\pm\sqrt{\left(\frac{m_1}{m_2}v_1+v_2\right)^2-\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)\left(2v_1v_2-\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)v_1^2\right)}}{1+\frac{m_1}{m_2}} \end{eqnarray*}$
を得て，根号（ルート）の中身について項ごとに整理すると，
$\begin{eqnarray*} &\ &\left(\frac{m_1}{m_2}v_1+v_2\right)^2-\textcolor[rgb]{0.2,0.4,1}{\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)}\left(2v_1v_2-\textcolor[rgb]{0.2,0.4,1}{\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)}v_1^2\right)\\ &=&\left(\frac{m_1}{m_2}v_1\right)^2+2\frac{m_1}{m_2}v_1v_2+v_2^2+\left(\textcolor[rgb]{0.2,0.4,1}{1-\left(\frac{m_1}{m_2}\right)^2}\right)v_1^2-2\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)v_1v_2\\ &=&v_1^2-2v_1v_2+v_2^2\\ &=&(v_1-v_2)^2 \end{eqnarray*}$ となるから，
$\begin{eqnarray*} v_1'=\frac{\frac{m_1}{m_2}v_1+v_2\pm(v_1-v_2)}{1+\frac{m_1}{m_2}} \end{eqnarray*}$
を得る。
ここで，この複号の+側はv_1^‘=v₁という衝突直前の自明な関係が得られるだけなので，
－側を取ることで，求めるv₁‘の解
$\begin{eqnarray*} v_1'&=& \frac{\frac{m_1}{m_2}v_1+v_2-(v_1-v_2)}{1+\frac{m_1}{m_2}}\\ &=& \frac{\frac{m_1}{m_2}-1}{\frac{m_1}{m_2}+1}v_1+\frac{2}{\frac{m_1}{m_2}+1}v_2\\ &=& \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\\ \end{eqnarray*}$
を得る。これを(１)’式に代入してv₂‘の解
$\begin{eqnarray*} v_2'&=&\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\right)\right)+v_2\\ &=&\frac{m_1}{m_2}\left(\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_1-\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\right)+v_2\\ &=&\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2 \end{eqnarray*}$
を得る。

いやー，だるい！長い！

もちろんこの計算をこなす計算力は必要なので，
各自上の記述を隠してできるかどうか確認してみてほしいですが，
これを試験中にやるのは賢明ではないでしょう。

ではどうするのか。

実は，数学的な対称性を用いれば比較的容易に解くことができます。

想定解答①のつづき
(１)式及び(２)式は対称性に注意して次のように変形できる。
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{llll} m_1(v_1-v_1')&=&m_2(v_2'-v_2)&\cdot\cdot\cdot(1)''\\ \frac{1}{2}m_1(v_1^2-{v_1'}^2)&=&\frac{1}{2}m_2({v_2'}^2-v_2^2)&\cdot\cdot\cdot(2)' \end{array} \right. \end{eqnarray*}$
(１)”式の両辺は０でないので（０となるのは衝突前である！），
(２)’式を(１)”式で辺々割って両辺２倍することで，
$\begin{eqnarray*} v_1+v_1'=v_2+v_2' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2'=v_1-v_2+v_1' \end{eqnarray*}$
となり，これと(１)’式とあわせて，
$\begin{eqnarray*} v_2'=v_1-v_2+v_1'&=&\frac{m_1}{m_2}(v_1-v_1')+v_2\\ \therefore \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)v_1'&=&\left(\frac{m_1}{m_2}-1\right)v_1+2v_2\\ \therefore v_1'&=&\frac{\left(\frac{m_1}{m_2}-1\right)v_1+2v_2}{1+\frac{m_1}{m_2}} \end{eqnarray*}$
（以下同様）

これならば計算量はさほど悪くはないですね。

一方，多くの「解けた」人は恐らく次のようにやったのではないでしょうか。

想定解答②
(２)式の代わりに弾性衝突であることから反発係数は１ゆえ，
$\begin{eqnarray*} -\frac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}=1 \end{eqnarray*}$
を用いてこれを整理すると，
$\begin{eqnarray*} v_2'=v_1-v_2+v_1' \end{eqnarray*}$
（以下同様）

はい。こちらのほうが①より物理的な解答といえるでしょう。

ここまではこの記事を読んでくれた全員に抑えていただきたいmustの内容です。

しかし，これの「意味」がしっかりと分かっているならば，
より自然な解答を得ることができますが，

これを考えるのはみなさんの宿題とします。

続編で答え合わせをしましょう。

先に知りたい！という人は直接言ってくださればお答えします。

それでは，勉強頑張ってください。

担任助手１年　中村

2021年 4月 8日　ブログプレイバックWEEK!! 2021年 1月 11日　きらきら

3日目は私です！！笑

このブログは

当時受験生だった子が

「泣きました」って伝えに来てくれた

ブログなので、

受験直前の自分を想像しながら

読んでくださいネ＾＾

こんにちは

平野です?

今日からは、受験生へ送る最後のブログがはじまります。

受験期間中、心が苦しくなったり不安になったりしたら

サクッとみて、ホッとできる内容になっていますので、

お時間の許す限りぜひ見てくださいネ＾＾

さあ

共通テストはいよいよ今週の土日

もう二次私大の過去問からシフトチェンジしている

頃かなって思います

大学生になって分かったことがあります

それは

受験生ってとても輝いてる人達なんだなーー

ということです

皆からすれば、

「受験つらいからはよ終われ！」

とか

「早く大学生になりたいわ、、」

とか思うかもしれません。

でも、

夢に向かって

一生懸命努力してる

みんなの姿は

本当に輝いていて

かっこいいものです

少なくとも

そこらへんの大学生なんかより

よっぽど輝いていることに

恐らく気づいていないな、、？笑

もちろん大学生も大学生で

高校生の時には

出来なかったことが

沢山できて楽しいと思う！

なんていうのかな

“第一回

受験生と大学生

どっちが輝いているか選手権”

をしたいわけじゃなくって！笑

受験生の

この不安や緊張感、期待感は

今しか経験できないこと

だから

もっと受験生である瞬間を楽しんでほしい

ってこと！！

そうこれが言いたかった＾＾

受験会場でも

もういっそのこと

自分が

映画の主人公

ビリギャル

だと思って

パフォーマンスだと思って

ショータイムだと思って

楽しんだもの勝ちだと思う！笑

“結果は求めるものではなくて、

ついてくるもの”

心の底の底の奥底から応援しています

(感染対策と沢山食べて沢山寝るのは忘れずに)

明日は田中萌さん！

私は受験生の時萌さんが担当だったので

感謝してもしきれない存在です

GOOD LUCK！！?

担任助手1年　平野栞

2021年 4月 7日　ブログプレイバックWEEK！！　2020年 7月 27日　劣等感よりhave to感

2日目はだいごさん！

これから1年間受験勉強をする中で

「他人と比べて落ち込むこと」は

少なからずあるでしょう

そんなあなたに読んでもらいたいのがこのブログ！

⇩行ってみましょう?

こんにちは！担任助手２年の富浜です！

雨多すぎませんか！

今日は雨は降らないだろうと思って傘を持たずに家を出ると、結局雨降ってコンビニでビニール傘を買うことになるっていうね。出費きつすぎ・・・

劣等感

今日のブログ、ポイントとなるのはこの言葉です。

劣等感・・・自分が他人より劣っているという感情

僕は受験期これに悩まされました。

結論からいうと最後までこれを克服することができずに、受験を迎えました。

ここで自分が高校の頃によく一緒にいた友達のプロフィールを書きます。

友達A：某トップ予備校に通う東大志望

友達B：上と同じ塾に通う東大志望

友達C：学年トップ３に入る国語力を持つ東大志望

友達D：社会科目の知識が教科書を凌駕する東大志望

友達E：別校舎の東進に通う全科目バランス良くできる一橋志望

友達F：同じ校舎の東進に通う数学がめちゃくちゃできる京大志望

富浜：突出した点がない一般高校生一橋志望

見てわかるようにハイスペックな人が周りにいました。

その中で毎日生活していると

「俺の周りレベル高すぎやん・・・」

「こんな頭いい人と受験で戦うのか」

「点数自分だけ低い・・」

のような感情を毎日抱きます。

何をしても劣等感を感じて、ネガティブな受験生活を送っていました。

受験が終わるとこの感情は無くなりましたが、いまだに国立に進学した友達に会うと感じるものはあります。

ただ、今思うと他人と比較する心持ちが良くなかったなと思います。

どんなに今頭良くても、勝負は本番です。

なので現時点を比べて一喜一憂するぐらいなら、その時間を勉強に回すべきです。

そんなことに気にするぐらいなら今やらなきゃいけない。

志望校判定を気にするな

というのはよく言われると思います。

僕はこれと同時に、

友達は気にするな

というのを強く言いたいです。

2年担任助手　富浜大護

2021年 4月 6日　ブログプレイバックWEEK！！　2021年 3月 5日　好きな感情を大事にしよう。

こんにちは！

ブログ担当の平野です！

新しい担任助手が入ってきましたね！

自己紹介はされましたか？？

そんなフレッシュな1年生の自己紹介を次回に控えている中、

今週は

「ブログプレイバックWEEK」

と題しまして、

私が1年間ブログを見てきて、

印象深かったブログを

いくつか

紹介させていただきます！！

ここに入りきらない面白いブログは

沢山あるんですけどね！！

1日目は

大岩さん！

大岩さんらしさが全開で、

さすがやなー✨と感じたブログです

⇩さっそくどうぞ！！

おはようございます！

東京理科大学経営学部3年の大岩です。

今回のテーマ、座右の銘やモットー。

担任助手1人1人の個性が伝わってきて、

読んでいて面白いです笑

この流れに沿って、

私も「モットー」について書いていくので、

最後まで読んでくれたら嬉しいです！

では、はじめます。

私のモットーは、

「勝ちにこだわり、勝ち方にもこだわる。」

です。

①勝ちにこだわる

私は5歳から16年間サッカーを続けていて、

ひたすら勝負にこだわってきた影響で、

なかなかの負けず嫌いになってしまいました笑

私の担当生徒の子や

グループ長で少し関わった生徒は

口酸っぱく言われてると思います笑

②勝ち方にもこだわる

私は「面白い、楽しい」という感情が好きです。

なので、結果にこだわりながら

その過程は楽しみたいと思っています。

つらい時期や思い通りにいかない環境など、

目標を達成するために困難はいくつもあります。

そんなしんどい挑戦を楽しめて、

周りの人も楽しませる、

そんな人になりたいです。

以上が、簡単な私のモットーの紹介でした。

大学受験は18歳までの人生において、

かなりのビックイベントです。

自分との戦いに勝ち、

周りとの戦いに勝たなくてはなりません。

しんどいにきまってる笑

だから私たち担任助手がいます。

そんなみんなのサポートを全力でやるし、

一緒にしんどいことも乗り越えていこうと

本気で思ってます。

おれはもうすぐ22歳になります。

みんなと4歳も離れてしまいます。

けど、そんな怖がらないでください笑

めっちゃ話しかけてきてください笑

どうせやるなら楽しんだ方がいいと思ってる。

最近楽しめてないなーと思ってる。

そんな人は「おおいわ！はなしきいて！」

くらいのテンションで受付きて！

がんばろうぜ！！！

担任助手3年　大岩優斗

2021年 4月 5日　決意を表明するお話。

こんにちは

平野　栞です！

【プロフィール】

平野栞　-ヒラノシオリ-

・法政大学社会学部　新2年

・身長166センチ

最近、この東進青葉台校に

市ヶ尾高校の生徒が新しく増えてきて、

嬉しい限りです?

ついに市高の時代が到来しました～！！㊗㊗㊗

さて、私はここで今年の決意表明をしたいと思います。

私のこの1年の目標は

「1年後に後悔なく、担任助手を辞めること」です！

担任助手は本当にやりがい120％、いや200％のアルバイトだと思います。

皆さんもやった方がいいです。笑

周りの友達が、

「お小遣い稼ぎ目的でしかバイトしてない」

と口をそろえて言う中で、

担任助手で同じ気持ちでやっている人は

まずいないでしょう。

そんな素敵な環境で働かせてもらっている身ですが、

大学生の自由なうちに、

他の世界も見てみたい

色々な経験をしてみたい

と思う自分もいて、

それ故

今年悔いなくやり切って

気持ちよく、

東進から身を引きたいと考えているのです。

こんなことをブログで公表する私は

どれだけ自己開示したがりな人なんだと

ツッコミを入れたくなるところではありますが、

これが目標なのは事実であります。

考え方が1年で変化する可能性は

ありますけどね！笑

加えて、

この目標を達成するには

何が求められるのか。

真面目に働くだけでは不可能です。

結果が求められるのです。

辛くなって現実逃避している暇も、

失敗して病んでいる暇も

私にはないようです。

負けず嫌いな性格と共に頑張ります。

そして

大変なことほど

楽しむことが大事ですきっと！

1年後、自分の満足いく形を目指しているのは

皆さんも同じですね！

受験生の皆さんとともに私も頑張ります！

皆でがんばろーーそして楽しもーーー

えいえいおーーーー

次回からは、ブログ担当の私が選ぶ、

心に響いたブログプレイバック

です！！

お楽しみに?

担任助手　新2年　平野栞

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2021年 4月 5日　決意を表明するお話。

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