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2020年 11月 20日 【力学】2質点系の運動その3
皆さんこんにちは。
担任助手1年の中村祐貴です。
進捗いかがでしょうか。
なんくるないさは沖縄の方言です。
https://www.e-bridal.tv/spot/okinawahougen_nankurunaisa
によれば,
「ちゃんと挫けずに正しい道を歩むべく努力すれば、
いつかきっと報われて良い日がやってくるよ。」
という意味だそうです。
共通テスト(同日)まで残り60日を切りましたが,
自分を信じて,気合を入れて頑張っていきましょう!
さて,今回も前回までの続きの議論をしていきます。
前回までの議論を見ていない
or覚えていない方はこちら↓↓
【力学】2質点系の運動その1
【力学】2質点系の運動その2
それでは,参りましょう。
前回までで,2つの運動方程式を足し合わせることで
重心運動方程式
を得ました。
実際に求めたいのは個々の物体の運動ですから,
ここで個々の運動と重心の運動の関係について調べます。
まず,重心(質量中心)Gですが前回もお話ししたように
で定義されます。
すると,重心から見た物体1および2の座標,は,
と表されます。
ここで両者が対称な形で表されていることに注意します。
すると,(どちらでもよいのですがここでは)
なる2から見た1の座標を定義すると,
(rはrelative;相対の意味)
両者は次のような,より自然な形で書けることになります。
これは,重心が物体1と2を質量の逆比に内分するという,
重心の定義
を反映していることを次のベクトル図で確認してください。
さらに,,, のうちいずれか1つがわかれば,
他の2つは自動的に決定されることもここから理解できます。
さて,今回の主題であった衝突問題を解くためには
ここまでのことで十分なので,一旦問題の考察を深めましょう。
問題を再掲します。
画像引用:https://physics-school.com/two-body-energy/
同様に相対速度を
,
重心から見た物体1,2の速度も同様にして
と求まりますから,弾性衝突によりが -1 倍になると,
もそれぞれ -1 倍になります。
(もちろん反発係数がeであればそれぞれ –e 倍になります)
前回お話しした通り,衝突の内力のみで外力は働かないので
重心速度は保存します。
よって,重心から見た相対速度のみを -1 倍にすることで
容易に
が得られます。
いかがでしたでしょうか。
相対速度の意味,わかってきましたでしょうか。
今後のために運動方程式的な解釈も行っておきましょう。
既に重心の運動は(1)+(2)によりわかっているわけですから,
あとは物体1,2の運動を求めるためには
何がわかればよいのでしょうか?
そうですね。
重心から見た物体1,2の運動が分かればよいわけですが,
それは先ほど見た通りを求めればOKということです。
そのために物体2から見た物体1の相対加速度
を求めたいわけですが,
そのためにはどうしたらよさそうですか?
その通り。
を作ればよさそうですね。
実際計算すると,
となります。
ただし,最後の変形では作用・反作用の法則
を用いました。
ここで,
と定義すると,μも質量次元を持つことから換算質量と呼び
これを用いて
と書くことができます。
かなりすっきりしましたね。
もうこれでもよいのですが,特に外力が0のとき,すなわち
のときはさらに
とより簡潔な運動方程式に帰着できます。
さて,本当はもう少し理論はあるのですが,
いい加減皆さん疲れたと思うので,次回にしましょう。
近日中に公開いたします。
次回は特に質問の多い
仕事やエネルギーについても掘り下げていきましょう。
何かあれば物理以外でも聞いてください。
答えられる範囲で頑張ります笑
明日は本多先生による「期待しない」の哲学です。
お楽しみに。
それでは,勉強頑張ってください。
横浜国立大学理工学部
担任助手1年 中村 祐貴