【力学】2質点系の運動その２ | 東進ハイスクール青葉台校大学受験の予備校・塾

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2020年 10月 16日　【力学】2質点系の運動その２

皆さんこんにちは。

担任助手1年の中村祐貴です。

進捗いかがでしょうか。

さて，前回お届けした【力学】2質点系の運動その１取り組んでいただけましたでしょうか。
まだの方はそちらを先にどうぞ。

前回扱った弾性衝突の反発係数（はねかえり係数）が
1であることの意味について，少し考えてみましょう。

まず，反発係数の定義は何でしたでしょうか。

そうですね。

衝突前後の相対速さの比ですね。

すなわち，衝突直前の物体１及び物体２の速度が $\begin{align*} v_1,v_2 \end{align*}$ ，
衝突直後の速度が $\begin{align*} {v_1}',{v_2}' \end{align*}$ とすると，
衝突直前の物体１から見た物体２の相対速度 $\begin{align*} v_r \end{align*}$ および
衝突直後の物体１から見た物体２の相対速度 $\begin{align*} {v_r}' \end{align*}$ は，

$\begin{eqnarray*} v_r&=&v_2-v_1\\ {v_r}'&=&{v_2}'-{v_1}' \end{eqnarray*}$

で表されるので，
衝突前後で $\begin{align*} v_r \end{align*}$ と $\begin{align*} {v_r}' \end{align*}$ の相対速度の符号は明らかに逆転する
（自分の視点で考えると自分に対して突っ込んできたやつは
衝突したら逆方向に飛んでいく）ため，
反発係数 $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ は次のように定義できます。

$\begin{eqnarray*} e=\textcolor[rgb]{1,0.4,0.4}{-}\frac{{v_r}'}{v_r}=\textcolor[rgb]{1,0.4,0.4}{-}\frac{{v_2}'-{v_1}'}{v_2-v_1} \end{eqnarray*}$

ここまでみてわかるように，
反発係数が1であるとは相対速さが不変で
相対速度の符号のみが変化するということです。

これは非常に重要なことなので，
しっかりと頭に入れておいてください。

ところで，この相対速度は少し別な見方をすることで
より深い考察が得られます。

それは，重心を基準に考えることです。

そもそも重心とは何だったでしょうか？
ここで2質点の運動方程式を考えてみましょう。

運動方程式は，

$\begin{eqnarray*} m_1a_1&=&F_{1,2} - F_{1,ex}~~~~\cdot\cdot\cdot(1)\\ m_2a_2&=&F_{2,1} - F_{2,ex}~~~~\cdot\cdot\cdot(2) \end{eqnarray*}$

となります。
ここに， $\begin{eqnarray*} F_{1,2} \end{eqnarray*}$ は物体１が物体２から受ける内力，
同様に $\begin{eqnarray*} F_{2,1} \end{eqnarray*}$ は物体２が物体１から受ける内力で
これらは作用・反作用の関係にあります。

また， $\begin{eqnarray*} F_{1,ex} \end{eqnarray*}$ や $\begin{eqnarray*} F_{2,ex} \end{eqnarray*}$ はそれぞれ物体１や物体２が
系の外から受ける外力（external force）です。

おそらく，皆さんの多くは，でどうすんの？
と思われていることでしょう。
そもそも衝突時の内力は特に撃力とよばれる
非常に大きな力ですから，これを求めるのは難しいです。

そこで $\begin{eqnarray*} F_{1,2} \end{eqnarray*}$ と $\begin{eqnarray*} F_{2,1} \end{eqnarray*}$ が作用・反作用の関係にあることを考えると，

$\begin{eqnarray*} F_{1,2}=-F_{2,1} \end{eqnarray*}$
が成立しているわけですから，
先ほどの2式をどうしたらよさそうですか？？

そうですね。
$\begin{eqnarray*} F_{1,2}+F_{2,1}=0 \end{eqnarray*}$
となるのですから，辺々足すのがよさそうですね。
(1)+(2)により，

$\begin{eqnarray*} m_1a_1 + m_2a_2 &=& F_{1,2} + F_{2,1} + F_{1,ex}+F_{2,ex}\\ m_1a_1 + m_2a_2 &=& F_{1,ex}+F_{2,ex}~~~~\cdot\cdot\cdot(3) \end{eqnarray*}$
が得られます。このままでもよいのですが，
(1)+(2)=(3)は２つの物体を１つのセットとみなして
連立方程式を立てたことに相当するので，
そのことがより伝わる表式に直してみましょう。
すなわち， $\begin{eqnarray*} m_{total}=m_{1}+m_{2} \end{eqnarray*}$ を用いて，
$\begin{eqnarray*} m_{total}\cdot\frac{m_1a_1 + m_2a_2}{m_{total}}&=&F_{1,ex}+F_{2,ex} \end{eqnarray*}$
と書き表せるので，ここで重心Gの座標を

$\begin{eqnarray*} x_G=\frac{m_1x_1+m_1x_2}{m_{total}} \end{eqnarray*}$

で定めると，重心加速度 $\begin{eqnarray*} a_G \end{eqnarray*}$ が

$\begin{eqnarray*} a_G=\frac{m_1a_1+m_1a_2}{m_{total}} \end{eqnarray*}$
となりますから(3)式は結局，
$\begin{eqnarray*} m_{total}a_G&=&F_{1,ex}+F_{2,ex} \end{eqnarray*}$
と書き換えられるわけです。

これは何を意味しているのでしょうか。
そうですね。重心の運動は，それぞれの物体にかかる外力が
あたかもすべて重心１点にかかっていると考えたときの
運動に他ならないわけです。

なるほど。特に外力が０の時は，重心加速度は０，
すなわち重心速度不変ということなのです！！
超重要

え，でも待って？
これって運動量保存と同じじゃない？と思った方，
素晴らしいです。
その通りです。
$\begin{eqnarray*} v_G&=&\frac{m_1v_1+m_1v_2}{m_{total}}=const. \end{eqnarray*}$
（const.はconstantの略で定数の意）なのですから，
$\begin{eqnarray*} {m_1v_1+m_1v_2}=const. \end{eqnarray*}$
と同じことですからね。（質量は勿論定数です！！）

運動量保存も実はこれと同様にして導かれるので，
重心速度一定か運動量保存かどちらの言葉を使っても構いません。

少し長くなってしまったので，
今回はここで区切りましょう。

続編は今回やったことをもとに
重心から見た相対速度の議論を深めます。
近日公開ということで。

質問はいつでも受け付けているので気軽にどうぞ。

さて，今月のブログは生きがいがテーマでしたが，
私のいまの生きがいは少しでも実力をつけて
将来社会により貢献できるようにすることですね。

施されたら施し返す。
恩返しです！(笑)

でも本当にこれからの社会を作っていくのは我々なので，
しっかりと精進してまいりましょう。

では，勉強頑張ってください。

横浜国立大学理工学部
担任助手1年　中村祐貴